Materi fungsi kuadrat

Posted on

  1. A.   Fungsi kuadrat

 

  1. Pengertian fungsi

Perhatikan gambar di bawah ini, tampak bahwa setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. ralasi demikian disebut fungsi atau pemetaan.

Fungsi dituliskan dengan lambing f” A     B (fungsi f memetakan A ke B).  jika x anggota himpunan A dan dipasangkan dengan y anggota himpunan B, maka y disebut peta x dan di tulis y=f(x). selanjutnya A disebut daerah asal (domain), B disebut daerah kawan (kodomain), dan semua anggota B merupakan peta dari anggota A disebut daerah Hasil (range).

1

2

3

A

B

C

D

 

                           A                               B

 

 

 

 

 

  1. Pengertian fungsi kuadrat

Jika suatufungsi f pada himpunan bilangan real ditentukan oleh f(x)=  dengan a,b,c Є R dan a = 0, maka fungsi tersebut dinamakan fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat berupa parabola.

  1. Grafik fungsi kuadrat

Cara menggambar grafik parabola f(x)=  adalah sebagai berikut:

  1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat.

1)      Titik potong dengan sumbu x (jika ada)

Titik pootng sumbu x diperoleh jika f(x)= 0, sehingga ada atau tidaknya titik potong terhadap sumbu x, tergantung pada besarnya diskriminan (D= b2- 4ac).

Hubungan nilai D dengan sumbu x disketsakan sebagai berikut:

   

 

 

 

 

 

   a>0                                                a>0                                             a>0

 

 

     D>0                                                D=0                                         D<0

 

 

 

 

 

 

            a<0                                   a<0                                     a<0

 

 

 

            D>0                                 D=0                                     D<0

 

 

2)      Titik potong dengan sumbu y

Titik potong sumbu y diperoleh jika x = 0 sehingga y= f(0)=c ada 3 kemungkinan:

  • Jika c>0, berarti parabola memotong sumbu y positig (di atas sumbu x)
  • Jika c= 0, berarti parabola memotong titik (0,0)
  • Jika c<0, berarti parabola memotong sumbu y negative (di bawah sumbu x)
  1. Menentukan koordinat titik puncak parabola

Koordinat titik puncak parabola

1)      Titik balik minimum

Jika a>0, maka nilai f(x) minimum.

Gambar grafik berupa parabola terbuka ke atas

2)      Titik balik maksimum

Jika a<0, maka nilai f(x) maksimum. Gambar grafik berupa parabola terbuka ke bawah.

 

 

  1. Sumbu simetri

Pada grafik fungsi kuadrat, terdapat pasangan titik-titik yang letaknya simetris terhadap grafik yang disebut sumbu simetris, dengan persamaan.  

Contoh: gambarlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2+x-2=0

jawab:

f(x) = x2+x-2 berarti a=1,b=1 dan c= -2; D=1-4.-2=9

  1. titik potong sumbu koordinat

titik potong sumbu x     y = 0

x2+x-2=0

x=-2 atau x=1

jadi, titik potong sumbu x (-2,0) dan (1,0). Titik potong sumbu y        x = 0, y= f(0) =-2. Jadi, titik potong sumbu y adalah (0,-2)

  1. koordinat titik puncak
  2. persamaan sumbu simerti

 

 

       y

 

 

 

                                   -2                            1

                                                            -2

 

  1. Sifat grafik fungsi kuadrat

Keadaan grafik fungsi kuadrat berkaitan dengan nilai D dan tanda a.

  1. Nilai D untuk memnetukan kedudukan parabola terhadap sumbu x

Jika f(x) = 0, maka diperoleh persamaan ax2+bx+c= 0.

1)      Jika nilai D > 0 berarti ax2+bx+c= 0 mempunyai dua akar yang berbeda, maka parabola f(x)= ax2+bx+c memotong sumbu x pada dua titik berbeda.

2)      Jika nilai D = 0 berarti ax2+bx+c= 0 mempunyai dua akar yang sama, maka parabola f(x) = ax2+bx+c menyinggung sumbu x pada satu titik.

3)      Jika nilai D < 0 berarti ax2+bx+c= 0 tidak mempunyai akar khayal, maka parabola f(x)= ax2+bx+c tidak memotong sumbu x.

  1. Tanda didepan a untuk mengetahui apakah grafik menghadap keatas (positif) kebawah (negative) jika suatu grafik tidak memotong simbu x , maka:

1)      Definit positif, grafik tidak memotong atau menyinggung sumbu x, terjadi jika D<0 dan a>0

2)      Definit negative, grafik tidak memotong atau menyinggung sumbu x dan seluruh grafik berbeda dibawah sumbu x, terjadi jika D<0 dan a<0.

  1. Menentukan fungsi kuadrat

Suatu fungsi kuadrat dapat dibentuk dari beberapa unsur yang diketahui, baik berupa grafik atau berupa cirri-ciri tertentu. Cirri-ciri tersebut antara lain :

  1. Fungsi kuadrat yang memotong sumbu x pada titik (x1,0) dan (x2,0).

y = f(x) = a(x-x1)(x-x2)

 

Jika fungsi kuadrat memotong sumbu x pada titik (x1,0) dan (x2,0), maka fungsi kuadrat tersebut adalah:

 

Contoh: Tentukan fungsi kuadrat yang memotong sumbu x pada titik (-3,0) dan (1,0) serta memotong sumbu y pada titik (0,3)!

Jawab: grafik memotong sumbu x pada titik (-3,0) dan (1,0) berarti

f(x) = a(x-(-3))(x-1)

f(x) = a(x+3)(x-1)

grafik melalui (0,3) berarti:

3 = a(3)(-1)

a = -1

jadi, f(x) = -(x – (-3) (x+1))

= – (x+3)(x+1)

= – (x2+2x-3) = -x2 – 2x + 3

  1. y = f(x) = a(x-x1)2

     

    Fungsi kuadrat menyinggung pada sumbu x pada titik (x1,0) dan melalui sebuah titik tertentu. Persamaannya:

 

Contoh: Tentukan fungsi kudrat yang menyinggung sumbu x pada titik (4,0) dan melalui titik (0,8)!

 

Jawab: Grafik menyinggung sumbu x pada (-4,0) berarti persamaannya y = f(x) = a(x-4)2 melalui (0,8) berarti

8 = a . 16 

   jadi,                              f(x) =

 

  1. Y = f(x)= a (x-xp)2+yp

    Fungsi kuadrat mempunyai titik ekstrim (balik)/ titik puncak (xp,yp) dan melalui sebuah titik tertentu persamaannya:

 

 

Contoh: suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum -2 untuk x = 3 dan untuk x = 0 nilai fungsi tersebut 16. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!

Jawab:

f(x) = a (x -3)2-2

f(0) = 16

16 = a.9 – 2

9a = 18

a = 2

jadi, f(x) = 2(x-3)2-2

=2(x2 – 6x + 9) – 2

= 2x2- 12x +16

  1. Fungsi kuadrat melalui tiga buah titik sembarang. Persamaannya

y = f(x) = ax2 + bx + c

 

 

 

 

 

Contoh: tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik (1,2), (0,7) dan (2,-1)!

Jawab: missal, fungsi kuadratnya y = ax2+bx+c

Melalui (1,2) berarti                       (1)

Melalui (0,7) berarti                                     (2)

Melalui (2,-1) berarti              (3)

Dari (1) dan (2),  (4)

Dari (2) dan (3),  atau     (5)

Dari persamaan (4) dan (5)

 

 

 

 

 

Jadi, 

 

 

  1. B.     Persamaan kuadrat

Bentuk persamaan kuadrat dapat didefinisikan sebagai a, b, c  dan a  Dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam pesamaan kuadrat

Persamaan  dapat diselesaikan dengan cara menentukan nilai pengganti  yang memenuhi persamaan itu. Nilai pengganti  yang memenuhi persamaan kuadrat   disebut penyelesaian atau akar dari persamaan yang bersangkutan.

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ada tiga cara:

  1. a.      Memfaktorkan

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat menggunakan sebuah sifat yang berlaku pada bilangan real. Sifat itu dinyatakan sebagai berikut:

 

Jika a, b  dan berlaku a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0

Catatan:

Pengertian a = 0 atau b = 0 dapat diartikan sebagai

  1. a = 0 dan b  0
  2. a  dan b
  3. a  dan b

 

 

 

 

 

 

 

 

            Contoh:

 tentukan penyelesaian atau akar-akar persamaan 

jawab: 

                       

                       

                       

Jadi penyelesaiannya adalah . Dalam bentuk himpunan penyelesaian ditulius HP = 3.

  1. b.      Melengkapkan kuadrat sempurna

`  merupakan contoh bentuk kuadrat sempurna. Tiap bentuk kuadrat dapat dimanipulasi secara aljabar menjadi bentuk kuadrat sempurna. Manipulasi aljabar yang diperllukan dalam proses pengubahan itu adalah dengan menambah atau mengurangi bagian suku tetapan.

Contoh bentuk persamaan yang dapat dimanipulasi aljabar  

       

       bentuk ini memuat kuadrat sempurna ( .

Proses penngubahan bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna itu dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna.

  1. Mengubah persamaan kuadrat semula ke dalam bentuk

 melalui proses melengkapkan kuadrat sempurna.

  1. Menentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan           bentuk persamaan terakhir.

  atau

 

Langkah-lanngkah proses pelengkapan kuadrat sempurna

 

 

 

 

 

 

 

Contoh:

  1. Dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna, tentukanlah akar-akar pada persamaan kuadrat  .

Jawab:  

            

            

            

            

              

            

Jadi, akar-akarnya adalah . Ditulis HP

 

  1. c.       Menggunakan rumus kuadrat

Rumus kuadrat ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan akar-akar persamaan kuadrat   .

Misalkan a, b, dan c bilangan-bilangan real dan a , maka akar-akar persamaan kuadrat

 Ditentukan oleh:

 

 

Sifat-sifat persamaan kuadrat

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh:

  1. Dengan menggunakan rumus kuadrat, tentukan akar-akar pada persamaan

 

Jawab:                , koefisien-koefisiennya adalah a = , b = -6 dan c = 8

 

 

 

                  

 

 

  1. C.     Deskriminan persamaan kuadrat

Dari rumus   bahwa penyelesaian akar-akar suatu persamaan kudrat sangat ditentukan oleh nilai  bentuk tersebut disebut dengan bentuk deskriminan (D) dari bentuk persamaan   sehingga . Dan deskriminan inilah yang dapat membedakan jenis akar-akar suatu persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat    dengan nilai diskriminan

  1. Jika  maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.
    1. Jika D  berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya rasional.
    2. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna maka kedua akarnya irasional.
  2. Jika  maka persamaankuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan irasional.
  3. Jika  maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar realatau kedua akarnnya tidak real (imajiner).

Jenis akar persamaan kuadrat:

 

 

 

 

 

 

 

Contoh:

  1. Tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu, tentukan jenis akarpersamaan kuadrat berikut.

Jawab:

  1. ; koefisien-koefisiennya adalah a = 2, b = -7, dan c = 6.

 

   

   

Karena  berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan  mempunyai dua akar yang berlainandan rasional.

  1. ; koefisien-koefisiennya adalah a = 4, b = -2  dan c = .

 

     

              

            Karena D = 0 maka persamaan kuadrat  mempunyai dua akar yang sama (akar kembar), real, dan irasional

.

  1. D.     Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Akar-akar persamaan kuadrat  ditentukan dengan rumus kuadrat atau rumus abc sebagai berikut

Berdasarkan rumus tersebut kita dapat mengembangkan rumus jumlah akar-akar  dan hasil kali akar-akar .

Jika adalah akar-akar persamaan kuadrat . Jumlah dan hasil kali ditentukan dengan rumus:

 

 

Contoh :

  1.  diketahui bentuk persamaan   dan  . Tentukanlah nilai m !

jawab:   diketahui a = 2 , b = 8 ,c = m

               

 

kemudian di eliminasi

 

 

 

 

                          subtitusi ke

                                                               

   

 

 

 

 

            Jadi nilai m nya adalah .

 

  1. E.     Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya.

a)       Memakai Faktor

Apabila suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi                           merupakan akar-akarpersamaan kuadrat tersebut. Sebaliknya jika  merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu ditentukan dengan rumus:

 

 

 

Contoh :

  1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5.

Jawab :

 

 

 

 

Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah

 

b)      Memakai Rumus Jumlah dan Hasil kali Akar-akar

Persamaan kuadrat    dapat dinyatakan dalam bentuk   yaitu dengan membagi kedua ruas persamaan semula dengan a.  Dari rumus tersebut terdapat hubungan rumus jumlah dah hasil kali akar-akar yaitu:

 

Jadi persamaan  dapat dinyatakan dalam bentuk :

 

 

 

 

 

                     

Contoh :

  1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 5.

Jawab :

 

 

     Jadi, persamaan kuadrat yang diminta adalah .

 

 

 

 

  1. F.      Merancang model matematika yang berbentuk persamaan kuadrat

Agar memahami dan terampil dalam memecahkan masalah yang modelk matematikanya berkaitan dengan persamaan kuadrat simak contoh berikut

Contoh :

  1. Selembar karton persegi panjang akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara membuang persegi seluas 2 X 2 di masing-masing pojaknya. Panjang bidang alas kotak 4 cm lebih besar dari lebarnya dan volume kotak itu . Tentukan panjang dan lebar alas kotak tersebut.

JAWAB:

Misalkan panjang alas x cm dan lebar y cm, maka x = y + 4 atau y = x – 4. Karena volume diketahui , maka diperoleh hubungan :

                          x . y . 2             = 90

                          x . y                  = 45

                          x(x – 4)             = 45

                         

                          ( x – 9) (x + 5)  = 0

                          x = 9 atau x = -5

Karena panjang alas tidak mungkin  , maka panjang alas diambil

Maka subtitusikan x = 9 ke y = x – 4, di peroleh y = 9 – 4 = 5

Jadi panjang alas kotak 9 cm dn lebar kotak 5 cm.

 

 

C. PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Bentuk baku dari pertidaksamaan kuadrat dalam varibel x dan 4 macam, yaitu :

Dengan a, b, c bilangan-bilangan real dan a  0

 Penyelesaiaan atau himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x dapat ditemukan dengan dua cara, yaitu dengan menggunakan

a)              Sketsa grafik fungsi kuadrat

b)              Garis bilangan

  1. a.    Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Dengan Menggunakan Sketsa Grafik Fungsi

Langkah- langkah mencari penyelesaian pertidaksamaan kuadrat dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat yaitu:

Langkah 1

Gambarlah sketsa grafik kuadrat f(x) =  atau parabola y =  Jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu X.

Langkah 2

Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh pada langkah 1, kita dapat menetapkan selang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat   ,         atau  

Agar lebih memahami simak contoh berikut:

Dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = carilah himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan kuadrat 

JAWAB:

Cari titik potong dengan sumbu X  

      

 ( x – 3) ( x – 1) =  0

 x – 3 = 0 atau x – 1 = 0 

 x1 =  3 atau x2 = 1

3

1

3

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                  

 

Maka himpunan penyelesaian

HP = { x | 1

 

  1. b.    Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat Dengan Menggunakan Garis Bilangan

Secara umum pertidaksamaan kuadrat ,        atau  dapat ditentukan dengan menggunakan garis bilangan melalui langkah – langkah sebagai berikut:

 

Langkah 1

Carilah nilai-nilai nol bagian ruas kiri pertidaksamaan

Langkat 2

Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis bilangan sehingga diperoleh interval-interval

Langkah 3

Tentukan tanda-tanda interval dengan cara menstubtitusikan nilai-nilai uji yangberada masing-masing interval.

Langkah 4

Berdasarkan langkah 3, kita dapat menetapkan interval yang memenuhi.

Contoh:

Carilah himpunan penyelesaiaan pertidaksamaan kuadrat  dengan menggunakan garis bilangan.

Langkah 1

 

 ( x – 3) ( x – 1) =  0

 x1 =  3 atau x2 = 1

 

Langkah 2

 

 

1                                                        3

Langkah 3

Nilai uji

Nilai

Tanda interval

X = 0

 

+  atau  0

X = 2

 

-   atau  0

X = 4

 

+ atau  0

 

Berdasarkan tabel maka

      +                                -                          + 

                                    1                2                3             4

Langkah  4

Maka interval yang memenuhi pertidaksamaan  adalah 1   

Jadi  HP = { x | 1

 

  1. Merancang Model Matematika Yang Berbentuk Pertidaksamaan Kuadrat

Untuk memenuhi bagaimana memecahkan masalah yang berkaitan dengan model matematika yang berbentuk pertidaksamaan satu variabel, simaklah contoh masalah sederhana berikut ini:

Contoh

Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 20 cm. Jika luas persegi panjang itu tidak kurang dari 21  tentukan batas-batas nilai panjang dari persegi panjang tersebut.

JAWAB:

Misalkan panjang dan lebar persegi panjang tersebut berturut-turut adalah x cm dan y cm. Keliling K = 2( x + y ) = 20

        

        

Luas persegi panjang  

      

                           

Luas persegi panjang tersebut  tidak kurang dari 21 , ini berarti

 

 

 ( x – 3) ( x – 7 )

   3

batas-batas panjang dari persegi panjang itu adalah dari 3 cm sampai dengan 7 cm.

 

About these ads

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s