Resume

Bagian 3 operasi(*)

Sebelum mempelajari Grup, terlebih dahulu kita harus mempelajari bab opeasi, yang dimana kita juga harus memahami terlebih dahulu mengenai himpunan. Karena himpunan merupakan awal dari syarat untuk mempermudah mempelajari Aljabar Abstrak.

Operasi biasanya dilambangkan dengan (*) serta merupakan jenis khusus dari pemetaan: pertama, SxS produk Cartesian dari S dengan S, adalah himpunan semua pasangan (a,b) dengan a dan b  (Appendix A), kemudian operasi dalam S adalah untuk memudahkan sebuah pemetaan dari SxS ke S. dalam hal penambahan sebagai operasi pada bilangan bulat, (a,b) -> a+b.

Dengan Definisi: bahwa sebuah operasi pada suatu himpunan S ialah sebuah hubungan (aturan, korespondensi) itu memberikan setiap pasangan yang diperintahkan untuk setiap pasangan unsure S elemen unik ditentukan dari S.

Contoh 3.1: Di setiap bilangan bulat positif, perkalian merupakan operasi: (m,n) à mn, dimana mn memiliki arti biasa, m waktu n kali. Bagian ini bukan operasi pada himpunan bilangan bulat positif, karena m:n belum tentu bilangan bulat positif (1:2= 1/2, untuk misalnya).

Jika ada simmbol dibentuk untuk menunjukan citra pasangan dibawah operasi, seperti dalam kasus a+b untuk penambahan nomor, maka symbol yang digunakan. Jika tidak, beberapa yang lainnya symbol diadopsi, seperti (a,b) àa*b atau hanya (a,b) à ab, misalnya dimana ia harus ditentukan. Apa a*b atau ab, Ialah arti dalam setiap kasus. Kita sering mengatakan “operasi*” ketika kita mengartikan “Operasi dilambangkan dengan *”

Contoh 3.2: Jika *didefinisikan oleh m*n=mⁿ untuk semua bilangan bulat positif m dan n, hasilnya adalah operasi pada himpunan bilangan bulat positif. Perhatikan bahwa 3*2=3²=9, sedangkan 2*3=2³=8. Jadi 3*2  2*3, sehingga, seperti halnya dengan pengurangan, perintah membuat perbedaan.

Dalam operasi, suatu sistim aljabar terdiri dari himpunan obyek dengan satu atau lebih operasi yang didefinisikan. Bersama dengan hukum-hukum yang dibutuhkan  dalam operasi. Yang dimisalkan*operasi biner pada himpunan S.

1)      Hukum asosiatif

Operasi*asosiatif jika memenuhi kondisi a*(b*c) = (a*b)*c untuk semua a,b,c Є S.

Misalnya, penambahan bilangan real bersifat asosiatif : a+(b+c) = (a+b)+c untuk semua a,b,c ЄR. Pengurangan bilangan real, bagaimanapun bukanlah asosiatif: 2-(3-4) = 2-(-1) =, tetapi (2 – 3) – 4 = -5. Perhatikan bahwa jika persamaan dalam  asosiatif  tanpa kepastian bahkan untuk satu triple (a,b,c), maka operasinya bukan merupakan asosiative. (lihatlah pembahasan dalam tambahan B pada negasi dari pernyataan dan bilangan).

2)        Hukum identitas

Operasi*identitas jika e*a=a*e=a untuk sebarang aЄS.

Jadi 0 adalah  identitas untuk penambahan bilangan bulat, dan 1 adalah  identitas untuk perkalian bilangan bulat. Perhatikan bahwa definisi membutuhkan baik e*a=a dan e*a, untuk setiap a ЄS. (Lihat soal 3.11 dan 3.12) Sebuah pernyataan yang sama berlaku untuk definisi berikutnya.

Untuk membuktikan hukum identitas dilakukan dengan menduga anggota tertentu e

dalam himpunan yang berlaku sebagai identitas dan kemudian menguji apakah e*a = a dan a*e = a untuk sebarang a dalam himpunan.

3)      Hukum invers

< A, * > memenuhi hukum invers asalkan A mengandung suatu identitas e untuk operasi* dan untuk sebarang a dalam A terdapat suatu anggota a′ dalam A yang memenuhi a*a′ = a′*a = e. Elemen a′ yang memenuhi sifat di atas dinamakan invers dari a. Untuk membuktikan hukum invers dilakukan dengan sebarang anggota x dalam himpunan yang mempunyai identitas e dan menduga invers dari x yaitu x′ dalam himpunan dan kemudian menguji apakah x*x′ = e dan x′*x = e.

4)        Hukum komutatif
operasi*komutatif jika a*b=b*a untuk semua a,b ЄS.

Misalnya, pertimbangkanlah penambahan pada himpunan semua matriks 2×2 matrisks nyata (yaitu matriks dengan nomor nyata sebagai entri), dari contoh 3.5 matriks dengan setiap entri 0 (nol) adalah elemen identitas, dan kebalikan dari (matriks):  adalah  matriks penambahan adalah keduanya merupakan asosiatif dan komunikative. Ingatlah bahwa determinan dari sebuah matriks real  adlah bilangan real ad-bc. Ini akan dinotasika det (A). jika B yang lainnya 2×2 matriks real. Kemudian det (AB) = det (A) det (B).

Hal ini dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan persamaan kedua pada contoh 3.5 dan menggunakan  penyederhanaan abstrak  untuk memeriksa bahwa (aw + by)(cx + dz) – (ax + bz)(cw + dy) = (ad – bc)(wz – xy).

331. Assume that * is an operation on S with identity element e and that

x*(y*z)=(x*z)*y for all x, y, z Є S. Prove that * is commutative and associative.

Jawab:

ð  x*(y*z) = (x*z)*y

ð               = x*z*y

ð               = x*(z*y)   untuk semua x,y,z ЄS

Misalnya, dimana (Z,+)

Maka :

3+(2+1) = (3+2)+1

              = 3+2+1

ð               = 3+(2+1)    untuk semua x,y,z ЄS maka*asosiatif

 

Untuk pembuktian komunitatif

ð  Missal (x*z) = c

 

ð  Maka: x*(y*z) = (x*z)*y

ð  (x*y)*z     c*y  bukan anggota komunitatif, karena tidak memenuhi definisi a*b=b*a.