Sampingan Posted on

Sub kelompok

Himpunan dari bahkan  bilangan bulat adalah bagian dari himpunan semua bilangan bulat, dan kedua himpunan adalah kelompok dengan mengamati penjumlahan. Jadi bahkan bilangan bulat membentuk sebuah sub kelompok dari kelompok semua bilangan bulat, menurut definisi berikut.

Definisi. Sebuah subset H dari suatu grup G adalah sub kelompok dari G jika H sendiri merupakan kelompok dengan memperhatikan ke operasi pada G.

Perhatikan bahwa jika G adalah grup dengan operasi *, H adalah subkelompok G, dan a, b Є H,
maka a * b Є H. Artinya, H harus ditutup sehubungan dengan operasi *. khususnya
a * a Є H untuk setiap a Є H.

contoh 7.1
(a) Kelompok bilangan bulat dengan penjumlahan adalah subkelompok dari kelompok bilangan real
dengan penambahan.
(b) Dengan perkalian, (1, -1) adalah subkelompok dari kelompok bilangan real bukan nol.
(c) Setiap kelompok adalah subkelompok dari dirinya sendiri.
(d) Jika e adalah identitas dari a  grup G, maka {e} adalah subkelompok G.

Teorema 7.1 akan memberikan cara mudah untuk memutuskan apakah subset dari kelompok adalah
subkelompok. Tapi pertama-tama kita perlu hasil awal berikut.

Lemma 7.1 Misalkan G menjadi sebuah  grup dengan operasi *, dan membiarkan H menjadi subkelompok G.
(a) Jika f adalah identitas H dan e adalah identitas G, maka f = e.
(b) Jika a Є H, maka kebalikan dari di H adalah sama dengan kebalikan dari a di G.

BUKTI. (a) Jika f adalah identitas H, maka f * f = f. Oleh karena itu, jika f menunjukkan
inverse off di G, maka
f-1* (f * f)= f-1 *f
(f-1*f ) * f = e
e * f = e
f = e.

(b) Asumsikan a Є H. Biarkan a-1 menunjukkan kebalikan dari dalam G dan membiarkan c menunjukkan kebalikan dari a dalam H. Kemudian bagian a* c = c * a = f, sehingga a* c = c * a = e oleh (a) bukti tersebut. Namun,

Teorema 5.1 (b) menunjukkan bahwa a-1 adalah elemen x unik di G membuktikan a* x = x * a = e.
Oleh karena itu, c = a-1.

 Teorema 7.1. Biarkan G menjadi grup dengan operasi *, dan membiarkan H menjadi bagian dari G. Maka H adalah subkelompok G jika.
(A) H bukan himpunan kosong,
(B) jika a Є H  b Є H, maka a*b Є H, dan
(C) jika a Є  H, maka a-1 Є H.

            BUKTI.  Asumsikan H menjadi subkelompok. Kemudian, sebagai sebuah grup, maka harus mengandung setidaknya identitas elemen dan dengan demikian menjadi tidak kosong, kondisi konfirmasi (a). Perlunya penutupan untuk sebuah grup, kondisi (b), telah ditunjukkan. Sekarang perhatikan kondisi (c). Jika a Є H, maka harus memiliki invers dalam himpunan H. Oleh Lemma 7.1 (b), invers ini adalah a-1, kebalikan dari dalam G. Jadi a-1 Є H. Kami sekarang telah membuktikan bahwa jika H adalah subkelompok, maka kondisi (a), (b), dan (c) harus memenuhi.

Asumsikan sekarang bahwa H adalah subset memenuhi  (a), (b), dan (c). Untuk memverifikasi bahwa H adalah kelompok kami harus memverifikasi bahwa sehubungan dengan *, H memenuhi kondisi dalam definisi kelompok dalam Bagian 5. Properti (b) memastikan bahwa * adalah operasi pada H. Hukum asosiatif otomatis memenuhi : Jika * (b * c) = (a * b) * c adalah benar untuk semua elemen dalam G, maka tentu berlaku untuk semua elemen di H, subset dari G. Untuk menunjukkan bahwa H mengandung e, elemen identitas G, misalkan x menunjukkan adanya unsur H, ada semacam unsur oleh kondisi (a). Dengan kondisi (C), x-1Є H. Oleh karena itu, dengan kondisi (b), e = x * x-1 Є H. Jadi H adalah subkelompok.

Soal 7.22 mengandung variasi pada Teorema 7.1, menunjukkan bagaimana (b) dan (c) dapat
digabungkan ke dalam kondisi tunggal. Jika H dikenal sebagai himpunan berhingga, maka kondisi (c) dari
Teorema 7.1 dapat dihilangkan sama sekali (Soal 14.35).

Contoh 7.2. Jika k adalah bilangan bulat, himpunan semua kelipatan integral dari k memenuhi kondisi Teorema 7.1 dan karena itu subkelompok Z (sehubungan dengan +). Dalam kasus ini, invers dari unsur adalah negatif dari elemen. Kasus khusus k = 2 memberikan subkelompok semua bahkan bilangan bulat.

Contoh 7.3. Tabel 7.1 menunjukkan bahwa jika H = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}, maka H adalah subkelompok dari S3. Memeriksa kondisi Teorema 7.1, kita lihat dulu bahwa H tidak kosong.
Penutupan terpenuhi karena tidak muncul dalam tabel kecuali (1), (1 2 3), dan
(1 3 2). Dan kondisi (c) memenuhi karena (1) -1 = (1), (1 2 3) -1 = (1 3 2), dan
(1 3 2) -1 = (1 2 3).
Tabel 7.1

 

(1)

(1 2 3)

(1 3 2)

   (1)

(1)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1 2 3)

(1 2 3)

(1 3 2)

(1)

(1 3 2)

(1 3 2)

(1)

(1 2 3)

 

Kami sekarang mempertimbangkan kelas umum subkelompok yang Contoh 7.3 adalah khusus
kasus. Pertama, kita mendefinisikan transposisi untuk menjadi 2-siklus di Sn (untuk setiap n). Sebagai contoh, transposisi di S3 adalah (1 2), (1 3), dan (2 3). Hal ini dapat dibuktikan bahwa setiap elemen
Sn. adalah transposisi atau produk transposisi (Soal 6.9). Misalnya, (1 2 3)
(1 3) (1 2).

Ketika kita menulis unsure pada  Sn. sebagai produk transposisi kita mungkin perlu baik sebagai
bahkan sejumlah faktor, seperti dalam
(1 2 3 4 5) = (1 5) (1 4) (1 3) (1 2),
atau ganjil faktor, seperti dalam
(1 2 5)(3 4) = (1 5)(1 2)(3 4)

Kami mendefinisikan permutasi untuk menjadi genap atau ganjil tergantung pada apakah itu dapat ditulis sebagai produk genap atau ganjil transposisi, masing-masing. Jadi sebelumnya persamaan menunjukkan bahwa (1 2 3 4 5) dan bahkan (1 2 5) (3 4) aneh.

Kita harus berhati-hati dari satu hal dengan definisi ini. Sebuah permutasi dapat ditulis sebagai
produk transposisi di lebih dari satu cara, seperti (1 2 3) = (1 3) (1 2) dan
(1 2 3) = (2 3) (1 2) (3 1) (2 3), representasi pertama memiliki dua faktor dan yang kedua
memiliki empat. Ini harus membuktikan bahwa, untuk setiap permutasi dari {1, 2, … , n), jumlah transposisi dibutuhkan adalah selalu baik genap atau ganjil, tergantung hanya pada permutasi diberikan.
Sebuah bukti untuk diberikan dalam Bagian 55, yang dapat dibaca sekarang jika diinginkan. Dengan demikian kedua istilah genap dan ganjil yang didefinisikan dengan baik untuk permutasi. Kami sekarang dapat menyatakan hasil berikut.

Teorema 7.2 (alternating Group). Himpunan semua permutasi bahkan dalam subkelompok dalam Sn forms sebuah subgroup dari Sn untuk setiap n 2. Subkelompok ini disebut pintasan kelompok pada persetujuan n derajat, dan akan dilambangkan oleh An. Urutan An adalah setengah (n!).

BUKTI. Gunakan Teorema 7.1. Identitas permutasi adalah An. karena (1) = (1 2) (1 2). Jika a, b Є An, maka a,b Є An karena sebuah produk bahkan jumlah transposisi akan memberikan jumlah transposisi. Akhirnya, kebalikan dari a = (a1a2) (a3a4) … (ak-1ak) adalah a-1= (ak-Iak) … (a3a4) (a1a2), sehingga bahwa a-1 dapat ditulis dengan menggunakan jumlah yang sama sebagai transposisi sebagai a.  itu a Є An menyiratkan a-1 Є An.

Untuk membuktikan bahwa urutan An adalah ½  (n!), itu sudah cukup untuk membuktikan bahwa Sn, memiliki jumlah yang sama bahkan permutasi permutasi sebagai aneh, karena Sn memiliki rangka n!. Untuk melakukan hal ini, cukuplah untuk membuktikan bahwa pemetaan : An à Sn didefinisikan oleh  (a) = semua 2) adalah satu-ke-satu dan yang adalah himpunan semua permutasi aneh di S. ini yang tersisa untuk Soal 7.7.

H grup dalam Contoh 7.3 adalah A3. Soal 7,8 meminta Anda untuk menemukan unsur-unsur dalam A4.

Kita menutup bagian ini dengan dua jenis sub kelompok permutasi. Satu ketik akan digunakan dalam Pasal 8 dalam mempelajari simetri, dan lainnya akan digunakan dalam Bab XIV dalam aplikasi untuk combinatorics.

Asumsikan bahwa G adalah grup permutasi pada set S, dan T adalah subset dari S. Mari
GT = {a Є G: a (t) = t untuk setiap t Є T}. (7.1)

An element of GT must leave each elemen in T fixed.

 

Kami mengatakan bahwa unsur-unsur GT meninggalkan T elemen twise invarian.
Example7.4. Misalkan S = {1, 2, 3, 4}, G = Sym (S) = S4, dan T = {1, 2}. Kemudian
GT = {(l) (2) (3) (4), (l) (2) (3 4)} = {(l), (3 4)}
(Lihat Gambar 7.1). Ini adalah subkelompok G.

        S  

 
   

 

 

Gambar 7.1

Sama seperti dalam contoh, GT selalu subkelompok. Sebelum membuktikan itu, bagaimanapun, kita memperkenalkan satu subset dari G erat kaitannya dengan GT. Jika a adalah permutasi dari S, dan T adalah subset dari S, kemudian a (T) menunjukkan himpunan semua elemen a (t) untuk t Є T. Mari
G (T) = {a Є G: a (T) = T}.     (7.2)

Dengan demikian, jika a Є G (T) kemudian a dapat mengubah urutan unsur-unsur T di antara mereka sendiri, tetapi mengirimkan bukan elemen dari T keluar T. Kami mengatakan bahwa unsur-unsur G (T) meninggalkan T invarian

Contoh 7.5. Dengan S, G, dan T seperti dalam Contoh 7.4,
GT = {(l) (2) (3) (4), (1 2) (3) (4), (1) (2) (3 4), (1 2) (3 4)}

An element of GT may permute these elements (outside of T) among themselves.

 

An element of GT may permute  these elements (in T)  among  themselves

 

     = {(1), (1 2), (3 4), (1 2) (3 4))
(lihat Gambar 7.2). Ini juga adalah subkelompok S4.

 
   

 

 

                  Gambar 7.2

Teorema 7.3. Jika G adalah grup permutasi pada S, dan T adalah himpunan bagian dari S, maka GT dan G (T)  adalah subkelompok G. Juga, GT adalah subkelompok G (T).

BUKTI. Terapkan Teorema 7.1, pertama untuk GT. Karena t, pemetaan identitas S, dalam
GT, GT set tidak kosong. Jika,  Є GT, kemudian
( o) (t) =  ( (t)) =  (t) = t

untuk setiap t Є T, sehingga  o Є GT. Akhirnya, jika  a Є GT dan t Є T, maka
a (t) = t
a-1 (a (t)) = a-1 (0
(a-1 o a) (t) = a-1 (t)
t = a-1 (t)

sehingga a-1 Є GT. Bukti bahwa G (T) adalah kelompok serupa, cukup mengganti t oleh T di jelas
tempat (Soal 7.15).

Untuk membuktikan bahwa GT adalah subkelompok G (T), mengasumsikan a Є GT. Kemudian a(t) = t untuk setiap t Є T sehingga  a(T) = T. Artinya, a Є G (T)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s